(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)
(* geodesics.yukterez.net | Boyer Lindquist -> Nullkoordinaten -> Finkelstein Style *)
(* ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||*)

"Kerr Newman De Sitter, Boyer Lindquist"

g11=gtt=-((-Δ+ж (a^2) ((Sin[θ])^2))/(Σ (χ^2)));
g22=grr=-Σ/Δ;
g33=gθθ=-Σ/ж;
g44=gΦΦ=-((ж (σ^2) ((Sin[θ])^2)-(a^2) Δ ((Sin[θ])^4))/(Σ (χ^2)));
g14=gtΦ=-((a (Δ-ж σ) ((Sin[θ])^2))/(Σ (χ^2)));
g12=g13=g23=g24=g34=0;

Σ=(r^2)+(a^2) ((Cos[θ])^2);
Δ=((r^2)+(a^2))(1-Λ/3 (r^2))-2 M r+(℧^2);
Χ=((((r^2)+(a^2)))^2)-(a^2) ((Sin[θ])^2) Δ;
щ=(q ℧ r ((a^2)+(r^2)))/(Δ Σ);
χ=1+Λ/3 (a^2);
ж=1+Λ/3 (a^2) ((Cos[θ])^2);
σ=(a^2)+(r^2);
Λ=3(H^2);
n=4;

m1={
{g11, g12, g13, g14},
{g12, g22, g23, g24},
{g13, g23, g33, g34},
{g14, g24, g34, g44}};

M1=MatrixForm[m1];
Subscript["g", μσ] -> M1

A1=A={℧ r/Σ/χ,0,0,-℧ r/Σ/χ ((Sin[θ])^2) a};
Subscript["A", μ] -> A1

d1={dt,dr,dθ,dΦ};
d2={du,dr,dθ,dφ};
d3={dT,dr,dθ,dφ};

(* Transformationsregel *)

dt=du-dr(((r^2)+(a^2))/(Δ /χ)) ; dΦ=dφ-dr(a/(Δ/ χ));

"Kerr Newman De Sitter, Nullkoordinaten"

m2=FullSimplify[Table[Sum[D[d1[[k]], d2[[i]]] D[d1[[s]], d2[[j]]] m1[[k, s]],
{k, 1, n}, {s, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}],Reals];
M2=MatrixForm[m2];
Subscript["g", μσ] -> M2

A2=FullSimplify[Table[Sum[D[d1[[k]], d2[[i]]] A1[[k]],
{k, 1, n}], {i, 1, n}],Reals&&r>0];
Subscript["A", μ] -> A2

(* Transformationsregel *)

du=dT+dr;

"Kerr Newman De Sitter, Finkelstein Style"

m3=FullSimplify[Table[Sum[D[d2[[k]], d3[[i]]] D[d2[[s]], d3[[j]]] m2[[k, s]],
{k, 1, n}, {s, 1, n}], {i, 1, n}, {j, 1, n}],Reals];
M3=MatrixForm[m3];
Subscript["g", μσ] -> M3

A3=FullSimplify[Table[Sum[D[d2[[k]], d3[[i]]] A2[[k]],
{k, 1, n}], {i, 1, n}],Reals&&r>0];
Subscript["A", μ] -> A3