Die geodätische Gleichung

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Yukterez
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Die geodätische Gleichung

Beitragvon Yukterez » Mi 2. Aug 2017, 20:27

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Verwandte Beiträge: Kerr-Newman Orbits || Kerr Orbits || Schwarzschild Orbits || Gravitationslinseneffekt
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Anwendungsbeispiel: Kerr-Metrik, mit den kovarianten:

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und kontravarianten metrischen Koeffizienten:

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Shorthand Terms:

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Einheiten: dimensionslos, metrische Signatur: time-positive

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Notation für die hier verwendeten Kugelkoordinaten:

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Allgemeine Indexverschieberegel:

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Spezialfall metrischer Tensor:

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Metrischer Tensor g=gμν und inverse Metrik g-1=gμν:

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Beispiel: kovariante Metrikkomponente, 2. Zeile, 2. Spalte und kontravarinte Metrikkomponente 1. Zeile, 4. Spalte:

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Christoffelsymbole zweiter Art:

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Beispiel: Christoffelsymbol G(r,t,t):

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Bewegungsgleichung:

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Aufsummierte Form:

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Explizite Ableitungen:

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Erste Ableitungen:

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Ausgeschriebene Form mit berücksichtigter Axialsymmetrie um die Rotationsachse:

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Linienelement:

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Explizites Linienelement in Boyer-Lindquist-Koordinaten:

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Für die insgesamte Zeitdilatation wird nach dt/dt aufgelöst, siehe [42-45].
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Anwendung: Input Metrik, Output Bewegungsgleichungen:

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Metrik und inverse Metrik:

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Christoffelsymbole:

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Geodätengleichung, Input und Output:

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Koordinatenzeit nach Eigenzeit für massive Testpartikel und affinen Parameter für masselose Teilchen:

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Beispiel 1: Partikelorbit mit a=0.646, x0=7, y0=z0=0, i0=p/2-arctan(5/6), v0=0.4 (Animationsparameter: t)

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Beispiel 2: Photonenorbits auf r=3 (Animationsparameter: a)

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weiterführende Beiträge: mahag / kerr.yukterez.net / gravitylense.yukterez.net, Begriffserklärung: FREFO / ZAMO, Code: klick
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Die geodätische Gleichung

Beitragvon Yukterez » So 3. Sep 2017, 07:03

Einfachere Beispiele mit stationär-statischen Metriken (top-down Prinzip). Für die Einstein-Maxwell-Gleichungen geht es hier entlang.
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Benötigte Formeln und Variablen:
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v=√(ṫ²-gtt)/ṫ ist die lokale 3er-Geschwindigkeit, mit v²=(vr)²+(vθ)²+(vφ)². Für Photonen gilt μ=0, für Testpartikel μ=-1. Da es in stationär-statischen Metriken keine Kreuzterme gibt reduziert sich i=vi/√(1-v²)/√(|gii|)-ṫ g0i/gii in den folgenden Beispielen auf i=vi/√(1-v²)/√(|gii|).
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Schwarzschild Limit:
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Neutonisches Limit (weak Field):
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Minkowski Limit (flache Raumzeit):
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Referenzen und weiterführende Literatur, Ref 1) Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity; Schwarzschild: (Kap. 7, #7.29), Weak Field: (Kap. 7, #7.27) Newton: Ref 2) Domingos Soares, From Schwarzschild to Newton (Kap. 3, #13), Ref 3) Kip Thorne, Relativistic Stars and Black Holes (Kap. 25, S. 32 ff. und Kap. 26, #26.9), Minkowski: Ref 4) Heinicke & Hehl, Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein’s Field Equation (Kap. 1.2, #17)
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